La transferencia de calor por convección en medios porosos es un tema que ha sido desarrollado en los últimos 30 años, como consecuencia de la necesidad de su conocimiento para ser aplicado a un gran número de procesos técnicos, tales como la industria del petróleo, energía geotérmica, diseño de sistemas de aislamiento, como por ejemplo fibras y aislantes granulados, etc.
Dada la complejidad que presenta la interconexión de los diferentes fenómenos físicos que intervienen en la transmisión del calor en medios porosos, es de gran interés obtener la mayor información posible acerca de ellos, con objeto de proceder a la resolución de un problema dado.
Los métodos empleados para obtener las soluciones de los diferentes casos tratados, de acuerdo con la geometría de la superficie sólida a través de la cual se transmite calor al medio poroso que la rodea, han sido habitualmente la resolución de las ecuaciones diferenciales, el método integral y mediciones experimentales.
En todos ellos las soluciones suelen expresarse en función de los denominados números adimensionales, monomios que relacionan diversas variables que intervienen en el problema y a los que se pretende, en la mayoría de los casos asignar un significado físico determinado.
Los números adimensionales clásicos conocidos han sido obtenidos por diversos procedimientos: a) la adimensionalización de las ecuaciones diferenciales que rigen el fenómeno, empleando ciertas magnitudes de referencia que permiten definir variables adimensionales, b) el Análisis de escala, basado en un análisis comparativo del orden de magnitud de los diferentes términos de las ecuaciones diferenciales, c) el Análisis dimensional clásico, de aquí en adelante ADC, es decir sin la utilización de la discriminación de las dimensiones del espacio.
En la mayoría de los textos de transmisión del calor emplean el Análisis dimensional con el principal objetivo de deducir, del gran número de variables que intervienen en un proceso, los monomios en función de los cuales se expresan las soluciones.
Sin embargo, hemos de destacar que en todos ellos se hace uso del ADC, pero no del Análisis dimensional discriminado (de aquí en adelante ADD). El ADD consiste en reemplazar en la base dimensional de la teoría empleada, por ejemplo en Mecánica (L, M, T), la dimensión longitud, L, por tres componentes, Lx, Ly, Lz, lo que se conoce con el nombre de discriminación de las dimensiones del espacio.
Con este último método (ADD) se obtiene una mayor información y soluciones más precisas que con el ADC. En primer lugar, la discriminación de las dimensiones del espacio conduce a que los llamados monomios de forma, cocientes entre longitudes en diferentes direcciones o superficies, dejen de ser monomios adimensionales que formen parte de la solución de forma independiente.
En segundo lugar dado que la multiplicidad de la base ha aumentado, permaneciendo invariable el número de variables que intervienen, el número de monomios pi que conforman la solución disminuye.
Se han obtenido soluciones para el espesor de la capa límite y el coeficiente de transmisión del calor en los casos de placa isoterma y con flujo uniforme de calor, soluciones que coinciden con las analíticas salvo una constante de proporcionalidad.
La discriminación de las dimensiones del espacio permite expresar, en un solo monomio, la solución del problema. También la aplicación del análisis dimensional discriminado permite asociar a los números de Rayleigh y de Nusselt un significado físico relacionado con la geometría del problema.
Planteamiento del Problema
Consideremos una placa vertical impermeable sumergida en un medio poroso saturado a temperatura uniforme q¥. Independientemente de la condición térmica en la superficie sólida, isoterma, qs, o con flujo uniforme de calor, q², el proceso de transmisión del calor tiene lugar en una región delgada de fluido adyacente a la superficie sólida (capa límite térmica), de tal manera que pueden aplicarse las aproximaciones de la capa límite análogas a las de la teoría de capa límite clásica.
Si la disipación viscosa no fuese despreciable habría que añadir un término en el segundo miembro de la igualdad en la ecuación (5). Dicho efecto ha sido investigado por Murthy y Singh (1997). Hemos de notar que las ecuaciones diferenciales anteriores están acopladas, es decir, la distribución de velocidades depende de la de temperaturas y viceversa, por lo que han de resolverse simultáneamente.
El problema fue resuelto mediante el método diferencial, por Cheng y Minkowycz (1977), Cheng (1977), empleando variables adimensionales y por Cheng (1978) utilizando el método integral.
El Análisis dimensional discriminado constituye un método alternativo mediante el cual, una vez establecido a qué teoría pertenece el problema que desea resolverse, y especificada la lista de variables que intervienen en el problema, a través de un proceso deductivo más simple que los anteriores pueden alcanzarse resultados tan precisos, salvo una constante adimensional.
Además, la información que suministra el Análisis dimensional discriminado acerca de los monomios adimensionales que conforman la solución de un problema dado, permite, por una parte, clarificar el papel que juegan los números adimensionales clásicos, Nuy, Ray y Ra*y, que son adimensionales en el ADC y dejan de serlo en el ADD, y por otra, asignar un significado físico concreto a cada uno de ellos, Herranz y Arenas (2003), Madrid y Alhama (2005).
Madrid (1987) deduce, en función de las leyes fundamentales de la teoría, las bases dimensionales que han de considerarse en la transmisión del calor en medios fluidos, obteniendo que cuando la disipación de energía mecánica es despreciable, la base dimensional discriminada que debe emplearse es (Lx, Ly, Lz, Q, T, q, M).
El método del Análisis dimensional conduce a que la multiplicidad de la base dimensional en la transmisión de calor por convección en medios porosos, procesos en los que la disipación de energía es prácticamente nula, se obtendría sin más que añadir a las leyes fundamentales consideradas en fluidos, Madrid (1987), la ley de Darcy (1).
Dado que en la ecuación (1) la permeabilidad K es una constante característica del medio poroso, dicha expresión puede considerarse en esencia la ecuación de definición de K, de manera análoga a como la ley de Fourier de la conducción es la ecuación de definición de la conductividad térmica.
Desde este punto de vista, la ley de Darcy introduce una nueva ecuación en el sistema de leyes de la teoría, pero a la vez introduce una, y solo una, nueva variable, la permeabilidad K, ya que el resto de magnitudes que intervienen en dicha ley están previamente establecidas.
Según lo anterior, el número de variables de la teoría ampliada es n+1; al añadir la ley de Darcy la característica de la matriz de los exponentes con que las variables intervienen en el sistema de ecuaciones es h+1. En consecuencia la multiplicidad de la base queda inalterada: m = (n+1)-(h+1) = n-h.
Se trata aquí de determinar, mediante ADD, empleando la base dimensional discriminada (Lx, Ly, Lz, Q, T, q, M), el espesor de la capa limite, d, y el coeficiente de transmisión del calor local, hy, en el proceso descrito, tanto cuando la placa sea isoterma como cuando exista en ella un flujo uniforme de calor.
Placa Vertical Isoterma
Las variables independientes que intervienen en el proceso de transmisión del calor son: la coordenada y tomada desde el borde inferior de la placa, la diferencia de temperaturas, q¢ = qs - q¥, Ev = rgb, K, m, c¢, y k.
La densidad del fluido no interviene como variable independiente ya que las fuerzas de inercia son despreciables, pero forma parte del término de las fuerzas de empuje por unidad de volumen.
En el proceso confluyen dos fenómenos diferentes, el correspondiente al movimiento del fluido convectivo en dirección vertical y el asociado a la transmisión del calor entre la placa y el medio permeable saturado. Mientras que el primero de ellos, relacionado con el comportamiento de las fuerzas viscosas, queda especificado desde el punto de vista espacial con dos direcciones, una vertical y otra horizontal, no perfectamente definida por la presencia del medio poroso, (Ly, LH), el segundo depende de las tres direcciones del espacio (Lx, Ly, Lz).
Uno y otro comportamiento, desde el punto de vista dimensional, pueden conjugarse al relacionar LH con Lx y Lz, del siguiente modo. Dado que la dimensión de la superficie horizontal es , la dimensión de una dirección horizontal puede expresarse como . Este nuevo planteamiento conduce a una modificación de las fórmulas dimensionales de la viscosidad m y de la permeabilidad del medio permeable, K.
Pudiéndose formar el cuadro de exponentes dimensionales siguiente:
| y | q¢ | Ev | K | m | c¢ | k | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Lx | 0 | 0 | -1 | 1 | 0 | -1 | 1 |
| Ly | 1 | 0 | 0 | 0 | -1 | -1 | -1 |
| Lz | 0 | 0 | -1 | 1 | 0 | -1 | -1 |
| Q | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| T | 0 | 0 | -2 | 0 | -1 | 0 | -1 |
| q | 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | -1 | -1 |
| M | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Las variables mostrados en la tabla 1 no pueden formar ningún monomio adimensional, lo cual era de esperar ya que son independientes. Precisamente, el problema reside en hallar d y hy como función de dichas variables.
Siendo C1 una constante adimensional. Nuestros resultados (16) y (20) concuerdan con los obtenidos por Cheng y Minkowycz (1977), y Cheng (1978), por otros procedimientos.
Placa con Flujo Uniforme de Calor
Caso distinto es cuando la superficie sólida comunica al medio permeable saturado un flujo uniforme de calor, q². El problema de transmisión del calor consiste en predecir la diferencia de temperaturas entre la placa y el medio permeable, siendo de esperar que tanto la diferencia de temperaturas mencionada, qs(y) - q¥, como el espesor de la capa límite térmica sean función de la coordenada y.
Por consiguiente, ahora el dato es el flujo uniforme de calor y no la diferencia de temperaturas.
Los exponentes dimensionales de las variables independientes que intervienen en el problema conforman la siguiente tabla:
| y | q² | Ev | K | m | c¢ | K | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Lx | 0 | 0 | -1 | 1 | 0 | -1 | 1 |
| Ly | 1 | -1 | 0 | 0 | -1 | -1 | -1 |
| Lz | 0 | -1 | -1 | 1 | 0 | -1 | -1 |
| Q | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| T | 0 | -1 | -2 | 0 | -1 | 0 | -1 |
| q | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | -1 | -1 |
| M | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Tampoco en este caso las variables que intervienen en la tabla 2 pueden formar un monomio adimensional. Para calcular el espesor de la capa límite, añadimos la columna correspondiente a los exponentes dimensionales de d.
Operando se deduce el único monomio adimensional posible, solución del problema. Los resultados obtenidos con nuestro planteamiento concuerdan con las soluciones que aportan Cheng y Minkowycz (1977) y Cheng (1977).
Números de Rayleigh y de Nusselt
Los números adimensionales clásicos, Nuy, Ray y Ra*y empleados de manera generalizada para expresar las soluciones en la transmisión del calor por convección libre en un medio poroso son realmente adimensionales en ADC pero no tienen dimensión nula cuando se considera la discriminación de las dimensiones del espacio ADD.
En efecto, con el ADC, empleando la base dimensional (L, Q, T, q, M) los números, Nuy, Ray y Ra*y son adimensionales, lo que conduce a que intervengan en la solución de manera independiente, siendo en consecuencia las soluciones más imprecisas.
Hemos de destacar que no podía esperarse un resultado diferente al obtenido puesto que sus definiciones fueron establecidas bajo el criterio de no distinguir entre las diferentes direcciones del espacio, esto es, sin tener en cuenta el diferente comportamiento de las magnitudes geométricas y de las magnitudes vectoriales según sus direcciones.
Desde el punto de vista práctico, la pérdida del carácter adimensional de estos grupos de variables, conduce a que en las soluciones cada uno de ellos no puede jugar un papel independiente sino que deberán combinarse, de algún modo, entre sí o con otros monomios adimensionales, para constituir la solución del problema tal y como ha sucedido en las expresiones (16), (20), (24) y (29).
Es evidente que la información obtenida de este modo...
tags:
