Velocidad de un Pistón Neumático: Cálculo y Nuevo Modelo Polinomial

Este artículo presenta un nuevo modelo matemático asociado al comportamiento de un cilindro neumático con amortiguamiento en ambos lados, el cual es desarrollado mediante ecuaciones polinómicas en sustitución de las ecuaciones termomecánicas originales. Se utiliza el criterio del coeficiente de correlación para validar el grado de la aproximación del nuevo modelo desarrollado. En este nuevo modelo se comprueba que el tiempo de simulación es menor que en el caso del modelo original, agilizando de esta forma la predicción del comportamiento de este tipo de actuador.

Introducción

Este trabajo es parte de un proyecto orientado al desarrollo de un robot flexible, dieléctrico y con accionamiento neumático, capaz de realizar la limpieza en los aisladores de porcelana de las líneas aéreas de alta tensión. Los actuadores neumáticos son muy utilizados por su limpieza, economía y ligereza, sin embargo, presentan un comportamiento altamente no lineal debido a la compresibilidad del aire y a la fricción. Debido a esto, los actuadores neumáticos presentan ciertas complicaciones en el diseño de los controladores. Es por esto, que se trabaja en la modelación de los cilindros neumáticos. Estos modelos permiten predecir el comportamiento del pistón de tal forma que se pueden utilizar en ciertos tipos de sistemas de control.

Algunos trabajos se han enfocado a técnicas de identificación de parámetros de fricción del actuador neumático, modelado y simulación dinámica, así como investigaciones analíticas y experimentales, en el desarrollo de una mano robótica con actuadores neumáticos. La modelación termomecánica integral de actuadores de tipo neumático, nos permite predecir su comportamiento, considerando los efectos de la compresibilidad del aire, las fuerzas de fricción internas, el efecto del amortiguamiento en los extremos del cilindro, la conservación de flujo másico y de energía; también permite conocer las presiones instantáneas, que dependen de la posición del vástago.

Desde el punto de vista de la ingeniería de control, este modelo nos permite predecir el comportamiento de las distintas variables que intervienen en el proceso de control, con un grado bajo de incertidumbre, lo que nos lleva a poder utilizar este modelo como marco de referencia o con predictor, utilizados en las distintas estrategias de control. Sin embargo, el modelo obtenido presenta un gran número de operaciones, lo que hace que su valoración sea pesada numéricamente y computacionalmente. Una parte importante del desarrollo es la simulación del sistema, para predecir el comportamiento del prototipo, y de esta manera se obtienen mejores resultados tanto en el sistema de control como en su comportamiento global.

En este caso, la valoración del modelo se implementará en un Procesador Digital de Señales. Debido a que la Unidad Aritmética Lógica posee un conjunto básico de instrucciones, sumas y multiplicaciones principalmente, el modelo debe ser adaptado a este tipo de condiciones. Este trabajo genera una línea alterna de modelación, orientada a simplificar el modelo termomecánico integral, aproximando las operaciones de división y expresiones con exponentes fraccionarios, a una forma polinomial.

El Modelo Termomecánico

La figura 1 muestra las diversas variables involucradas en el modelo Termomecánico, donde X, , es la posición del actuador del pistón, la velocidad y la aceleración del vástago respecto al cilindro, respectivamente; también tenemos las presiones internas Pa1, Pc1, Pc2 y Pa2, que se presentan en la almohadilla del pistón, en la cámara del pistón, en la cámara del vástago y en la almohadilla del vástago, respectivamente; así como también la fuerza del actuador Fa. La dinámica del cilindro neumático es descrita en las ecuaciones (1a) a (1j), y representa el Modelo Termomecánico original. Este modelo calcula los cambios de las presiones al interior del cilindro, Pa1, Pa2, Pc1 y Pc2, que dependen de la posición del vástago en el cilindro.

Debido a los efectos generados por las almohadillas de amortiguamiento en los extremos del cilindro, es necesario dividir el modelo Termomecánico en tres secciones: almohadilla del pistón (0£X

El flujo másico esta definido en la ecuación (2), donde At es el área de flujo del aire, que puede ser de la válvula (Ate) ó del orificio de amortiguamiento (Ats); los valores aplicados al modelo para un actuador específico se muestran en la tabla 1, por lo que las ecuaciones del modelo resultante se muestran en las ecuaciones (3). Al evaluar el sistema de ecuaciones (3), se requiere de mucho tiempo de cómputo, lo que provoca un retraso en el análisis del comportamiento del actuador neumático, por lo que de aquí nace la necesidad de reducir el modelo para reducir el tiempo de análisis.

Reducción de la Ecuación del Flujo Másico

La ecuación del flujo másico es función de las presiones en los diferentes intervalos de X, como se muestra en la ecuación 4.

La ecuación 5 muestra una forma general de M, y se realiza una sustitución de variables, como se muestra en la ec (6), donde siempre se debe cumplir que Pa≤Pb, y donde Rij es la relación de presiones internas, como se muestra en la tabla 3.

Para aproximar el modelo termomecánico, se probó cuatro aproximaciones polinómicas, de segundo, tercer, cuarto y sexto orden. En cada caso, se aplicó el método de Diferencias de Newton. La forma polinómica general se muestra en la ecuación (7), donde n es el orden del polinomio, ak son los coeficientes obtenidos y los valores se muestran en la tabla 4. La figura 2 muestra el resultado gráfico de las aproximaciones polinomiales del flujo másico de orden 2, 3, 4 y 6, y se compara con la gráfica de la ecuación original.

Los coeficientes de correlación resultantes entre la curva de aproximación polinomial con distinto orden, ecuación (7), y la curva original, ecuación (5), se muestran en la tabla 5.

Se determinó considerar como una buena aproximación un resultado mayor a 0.9500, por lo que las aproximaciones realizadas entregan un resultado aceptable.

Reducción de las Ecuaciones de Estado

Las ecuaciones de estado se redujeron con el mismo método de Diferencias de Newton, y los resultados se muestran en la serie de ecuaciones (8a) a la (8h). De tal forma, que las ecuaciones del modelo Termomecánico que estamos proponiendo, reducidos a polinomios, se muestran en las ecuaciones (9). La ecuación del flujo másico, corresponde a la ecuación (7), y los valores de los coeficientes del polinomio se muestran en la tabla 4. Primero se sustituye la aproximación de la curva de flujo másico, y la tabla 6 muestra los resultados, comparados con el modelo original.

Pruebas y Resultados

Para comprobar la validez de los resultados, se compara el resultado del modelo original, con el resultado del nuevo modelo polinomial para la posición del actuador neumático. Las pruebas se realizaron utilizando Matlab, y se consideran los factores del tiempo de ejecución, el coeficiente de correlación, los errores máximo y promedio, como puntos importantes a evaluar. Primero se evaluaron las aproximaciones del flujo másico, ecuación (7), de orden 2, 3, 4 y 6, en el modelo termomecánico, ecuaciones (3). La tabla 6 muestra el tiempo de cómputo para cada aproximación, incluida la forma original, así como los coeficientes de correlación respecto al original.

En seguida, se sustituyen las ecuaciones polinomiales (8) y (7) en las ecuaciones (9), y los resultados se muestran en la tabla 7. La figura 3 muestra los errores de posición del actuador, junto con los resultados mostrados en las tablas 6 y 7, nos permite establecer que la mejor aproximación del flujo másico, es de orden 3. La figura 4 muestra una comparación del modelo simplificado de orden 3, contra el modelo original.

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